数字信号处理四、数字信号

连续信号和离散信号

确定信号与随机信号

确定信号多为我们需要研究的对象
- 此处确定信号实际上有两种：一种可以使用公式；另一种不可使用公式表示（语音输入等）
随机信号在本课中多为干扰噪音

周期信号与非周期信号

可用周期函数表示，在DSP中非常重要

DSP研究的是时间轴上的信号变化，周期函数是最容易研究的
把一个函数变成多个函数表示。周期函数可以被当做工具。（分解的概念）

周期信号定义

数学上的定义

对于连续函数信号的周期，我们有时 $f(t)=f(t+k*T)$ ，T为周期通常T可以为任意值，k为任意整数
对于离散信号：满足 $x[n]=x[n+k*N]$ $x [n] = x [n + k * N]$ 的序列，被称为具有周期N的周期序列，其中N是一个正整数，而k是任意整数。
- 满足上式的最小N值被称为基本周期

能量与功率信号

对于序列x[n]，其能量定义如下： $\epsilon_x=\Sigma_{n=-∞}^∞|x[n]|^2$ $ϵ_{x} = Σ_{n = - \infty}^{\infty} ∣ x [n] ∣^{2}$
- 一个无线长度但取样值为有限的序列，其能量可能为无线或有限的值
- 一个有限长度且取样值为有限的序列，其能量为有限值
一个非周期序列x[n]的平均功率定义为： $P_x=lim_{k\rightarrow∞}\frac{1}{2k+1}\Sigma_{n=-k}^{n=k}|x[n]|^2$

窗口k扩展

一个周期为N周期性2k序列，平均功率为 $P_x=\frac{1}{2k}\Sigma_{n=-k}^k|x[n]|^2$
一个无线能量的信号，若具备有限的平均功率，则称为功率信号
- 周期序列是一个功率信号的例子，因其平均功率有限但能量无限

因果序列

也叫物理可实现信号：t<0 f(t)=0; t>0 f(t)≠0
可理解为：t=0时，打开了开关

因果信号与能量信号

对称信号共轭信号

有界信号

脉冲信号

单位取样(unit sample)序列
脉冲信号、冲击信号、迪利克雷函数、delta函数
$lim_{\tau\rightarrow0}∫_{-\tau}^{\tau}\delta(t)dt=1$
举例
- 短时间强度非常非常大的冲击电流
- EMP(电磁脉冲)炸弹
在数字电路中，该信号被规范化，且泛用化了。连续的delta函数模拟电路在0处为无穷，但在数字电路为1。
- 得益于A/D的屏蔽效果
对于离散型脉冲信号 $lim_{\tau\rightarrow0}∫_{-\tau}^{\tau}\delta(t)dt=1$ 等价于 $\Sigma_{n=0}x(n)=1$ 亦即δ（n）=1（n=0）δ（n）=0（n≠0）
- 整个型号的性质发生了质的变化
- 在DSP中，A/D屏蔽了f(t) 在单位时间无限大的“缺点”；保留了他只在0时刻有值，值累计为1 这两个优点，并整合成了一个规范化的函数
- 只在0这个标准时刻发生一次，发生强度为规范化的1的最简单的标准信号，即信号中的单位1。
n通过时移组合的方法，表示任意一个序列
x[m]= $\{x_1,x_2,x_3,…x_n\}0≤m≤n$
= $x_0⋅δ[m]+x_1⋅δ[m-1]+…+x_n⋅δ[m-n]$
概念：上图不是很多根“柱子” 叠加，而是很多个0,0,1,0,0 的信号叠加

例题

$x(n)=... -2≤n≤5$

用 $δ(n)$ 表示 $x(n)$ :

解： $x(n)=\Sigma_{k=2}^5x(n)\delta(n-k)$

δ(n)在这里指的是序列！！！而不是一个单一的值！！！

脉冲信号的作用

1）鉴于上述表示，我们可以把特定连续/离散信号对不同时刻的脉冲函数进行乘法，得到不同时间点信号值，这个过程叫做取样！

2）脉冲信号就是我们数字信号里面的“1”，复杂信号变成多个简单信号的和！

3）研究一个未知的系统时，我们就可以把这个系统想象成为一个不知深浅的“水潭”，而想里面丢一个“石块”，这个“石块” 就是脉冲信号。

阶跃信号

n阶跃信号是对f(t)=1(t>0);0(t<0)取样而来，可以看做是多个脉冲信号组合而来，也叫单位步阶信号。

$u(n)=\Sigma_{k=0}^∞\delta(n-k)$
$\delta(n)=\Sigma_{k=0}^∞(u(n)-u(n-1))$

指数信号

衰减的指数信号比增加的指数信号应用要广一些
衰减的序列可以用来做平滑
而增加的信号可以在有限长度下做放大配全

正（余）弦信号与复数表示信号

$f(t)=A cos⁡(ωt+ϕ),x[n]=A cos⁡(ωn+ϕ)$

其中 A,ω,φ为实数，分别被称为弦波序列 x[n] 的振幅、角频率及相位

欧拉公式 $e^{jθ}=cos⁡(θ)+jsin(\theta)$

复指数信号与正余弦信号的互相转化

复指数信号 x[n]=Ae^jθn 转化成正余弦信号的方法：
- $x[n]=Ae^{jθn}=A(cos⁡(θn)+j sin⁡(θn))$
正弦信号转化成复指数信号的方法:
- $cos⁡(θn)=\frac{1}{2}[(cos⁡(θn)+j sin⁡(θn) )+(cos⁡(θn)-j sin⁡(θn) )]=\frac{1}{2}e^{jθn}+e^{-jθn}$
- $sin⁡(θn)=\frac{1}{2j}(e^{jθn}-e^{-jθn}）$

虚部的意义

复指数信号 $x[n]=Ae^{jθn}$ 存在实部和虚部
- 我们在初中学习复数时就听说过，虚数在DSP中找到了对应的意义
- 实际上：DSP中也不存在 “想象中 imaginary-i”的信号
但是，我们如果观测到两个信号，
- 具有同一个周期性；
- 且具有明确的转化关系：例如推迟半个周期就可以变成另一半 $sin⁡(θn) =cos⁡(θn+\frac{π}{2})$ ；
- 同时两个信号没有叠加成一个；
- 我们想要使用一个符号同时表示这两个信号
不妨将这两个信号记做 $A(cos⁡(θn)+j*sin⁡(θn))$
$A(cos⁡(θn)+j sin⁡(θn) )$ 并不是指真的有虚数信号， j是一个分隔符，表示同一个式子中的两个信号不能直接做加法，却又可以通过虚数运算方法进行运算

复指数信号与正余弦信号

不要忘记，我们观察信号的“变化”，看的是n。在 $Aα^n=|A| e^{nβ}$ $A α^{n} = ∣ A ∣ e^{n β}$ $e^{j(nω_α+φ)}$ $e^{j (n ω_{α} + φ)}$ 中，有两部分含有n
- $e^{j(nω_α+φ)}$ ，正余弦对应的，“周期的”
- $|A|e^{nβ}$ 含有n，单增的。

由于指数信号 $e^{jθn}$ 和正余弦信号的简单对应关系，我们今后在学习周期性、运算讨论时，会（很多情况下）不加区分三者，而在写法上有一定互换

正弦信号的周期——基本概念复习

基本概念：
- 角速度ω，频率f 与周期T
换算关系
- T∙f=1;T=1/f;f=1/t
- ω=2π/T;T=2π/ω
- ω=2πf;f=ω/2π
$y[n]=sin⁡(\frac{13}{7}n+0.2π)$ , 或者 $y[n]=sin⁡(\sqrt3 n+0.2π)$ 是非周期的
在DSP中，正余弦信号可能是非周期的！！！周期的必要条件时2π/ω是有理数

第一个特点：DSP中正弦信号不一定是周期的，要满足 $\frac{2k\pi}{\omega}$ 为有理数！

第二个特点：DSP中的正弦信号关于ω是周期的！！

第三个特点：正弦信号不同的曲线ω 关于ω=π 分别轴对称（余弦）和点对称（正弦）

ω一个周期区间内，例如[0,2π],
cos信号， $ω_2=2π-ω_1$ ,两个信号一样
sin⁡信号， $ω_2=2π-ω_1$ ,两个信号差一个“-”号

正弦信号是否是周期的，是被ω决定的。
- 周期性是对n而言的，N是n的周期，只是计算、判断时受ω影响。
观察ω : 连续信号 $f(t)=sin⁡(ωt+φ)$ 中 ω 对信号的影响是：
- ω 越大，信号图像越“紧密”
- 紧密程度无上限
我们进一步分析 ω 对 $Acos(ωn+φ)$ 的影响，值得注意的是ω是参数不是自变量，是参数！！！！
高频在哪里？
- 鉴于ω_2，2π-ω_2图形对称（或者反向对称），那么高频只能出现在（中间π或者两边0,2π）
- 离散时间弦波序列 $x[n]=cos⁡(A(ωn))$ 的振荡频率会随着ω从0到π的增加而增加，然后随着ω从π到 2π的增加而减少。
- 因此，我们通常将ω=0附近的频率称为低频，而将ω=π附近频率称为高频
DSP中的正弦信号高频在π,低频在0或者2π，那么频率的上限在哪里？
- 连续性的正弦，频率没有上限， $→∞$ ;
- 离散型的正弦，高频在π，是可以达到的，那么他的频率上限哪里？
性质4：DSP中的正弦信号高频在π,低频在0或者2π
问2：周期有上限怎么描述任意信号？
采样定理部分回答。
问3*：震荡周期？我们本处讨论的是震荡周期，而非数学。一个信号的数字周期和振荡周期可能不相等。数字周期不一样，振荡周期可能一样

信号的抽样

离散时间取样

n在一些应用中，离散时间序列 {x[n]} 可藉由对一连续时间信号 xa(t) 以一等距时间间隔周期性地取样而产生。
n连续与离散信号之间的关系是：
$x[n]=x_a (t)|t=nT=x_a (nT),n=…,-2,-1,0,1,2,…$
- 两个连续取样点间的时间间隔称为「取样区间」或「取样周期」。
- 取样周期的倒数称为取样频率 FT ： $F_T=1/T$
- 取样频率的单位为次/秒。当取样周期的单位为秒时，取样频率的单位为赫兹 (hertz , Hz)
n采样周期、频率是采样的性质，和
- 正弦函数频率无关！！！
- 也与x(t)原函数的周期频率无关（例如方波、阶梯等任意周期函数）！！！
n但是：任何连续函数无论是否是周期函数（有没有自己的频率），采样结果都包含取样频率的影响。尤其是
- 当取样函数和周期函数复合起来，问题就会复杂化
- DSP中离散正弦信号的周期上限

取样周期与周期函数

我们来研究获取余弦函数x[n]=cos⁡(ωn+φ)的过程：
对于 $x(t)=Acos⁡(Ω_0 t+φ)$ 进行采样
$x[n]=Acos⁡(Ω_0 nT+φ)=Acos⁡(\frac{2πΩ_0}{Ω_T}n+φ)=Acos⁡(ω_0 n+φ)$
其中 $ω_0=2πf_0=2π\frac{Ω_0}{Ω_T}=Ω_0T=2π\frac{F_0}{F_t}$
- 用大写的 $Ω_0,F_0$ 及角标 0 来表示原连续三角函数信号的特性
- 用小写的 $ω_0,f_0$ 及角标 0 来表示采样的离散三角函数信号的特性
- 用大写的 $Ω_T,F_T$ 及角标 T, 以及周期 T 来表示采样的特性

混叠现象 aliasing

$g_2 [n]=cos⁡(1.4πn)=cos⁡((2π-0.6π)n)=cos⁡(0.6πn)=g_1 [n]$

$g_3 [n]=cos⁡(2.6πn)=cos⁡((2π+0.6π)n)=cos⁡(0.6πn)=g_1 [n]$

个人观点：看括号内的式子，相加或相减得到的值是2 $\pi$ 的整倍数就可能会发生混叠

所有上述三个序列基本上是相同的，我们很难对任一个序列去对应一个唯一的连续时间函数。

较高频率的连续时间弦波讯号在取样后得到一个较低频率的弦波序列,从而无法分辨，这种现象称为混叠。

让每一个 $ω_0$ 都落入[0,π]区间，而sinωn在这个区间频率是单增的，不存在混叠
$ω_0=Ω_0/Ω_T$ ,则需要令 $Ω_T>2Ω_0$ ,才不会有混迭的现象发生
此时的 $Ω_0$ 是对于所有分量说的，所有分量的最大值
考虑一个可以表示成数个弦波讯号加权和的任意连续时间讯号 $x_a (t)$ , 如果取样频率 $Ω_T$ 被选取为 $x_a (t)$ 中最大频率的2倍以上，则 $x_a (t)$ 可以其取样值 ${x[n]}$ 来唯一表示——采样定理

取样速率的转换

通常被用来产生另一个取样速率较原序列高或低的序列
假设 x[n] 是一个取样速率为 $F_T^′$ Hz的序列，被用来产生另一个取样速率为 $F_T$ Hz 的序列 y[n]，则定义取样速率转换比例为：
$R=\frac{F_T^′}{F}$
如果 R >1，该程序被称为内插 (interpolation)。
如果 R <1，则该程序被称为间取 (decimation)。

取样和插值

4-因子 (factor-of-4) 内插
2-因子 (factor-of-2) 内插
3-因子 (factor-of-3) 内插
$y[n]=x_u [n]+1/3 (x_u [n+2]+x_u [n-2])+2/3 (x_u [n+1]+x_u [n-1])$
- 坐标相同的点x_u [n]↔y[n] 100%接受他的信息（系数为1）
- 相距1个点位的点 x_u [n±1]↔y[n] 67%接受他的信息（系数为2/3）
- 相距2个点位的点 x_u [n±2]↔y[n] 33%接受他的信息（系数为1/3）
- 再远的点， 0%接受他的信息