数字信号处理 五、信号与系统

本章知识点

基本信号入门

基本信号处理方法及图示（图示与数学公式），卷积

基本信号模型（冲击，阶跃，衰减，余弦）

取样（取样频率，上下取样）

系统（线性及LTI系统定义，基于脉冲响应的系统简单分析）

建议自行拓展知识点：

  • 反馈电路；
  • 正余弦变换中的震荡频率及相关电路知识
  • 无限长序列的认知

什么是系统

  • 输入——操作、处理——输出

离散时间系统

累加器

γ−y[n]=Σt=−infnx[t]\gamma-y[n]=\Sigma_{t=-inf}^{n}x[t]

=Σt=−infn−1x[t]+x[n]=y[n−1]+x[n]=\Sigma_{t=-inf}^{n-1}x[t]+x[n]=y[n-1]+x[n]

  • 输出值y[n]，将负无穷到n-1所有输入值相加
  • 通过系统变换，变成输入信号x[n]及输出信号y[n-1]的和，用带反馈电路实现

滤波器

  • 均值滤波器

  • 指数加权移动平均滤波器

    y[n]=ay[n−1]+x[n]y[n]=ay[n-1]+x[n]

  • 中值滤波器

离散时间系统的分类

  • 线性系统
  • 位移不变性系统
  • 因果系统
  • 稳定系统
  • 被动及无损系统

线性离散时间系统

线性时不变系统 LTI Linear Time Invariant System

y[n]=αx1[n]+βx2[n]y[n]=\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]

常见的线性系统：

  • 累加器

非线性离散时间系统：中值滤波器

  • 线性性是信号系统中最重要的性质
  • 对未知的信号，常见方法式用一系列对齐进行线性表出

位移不变性系统

x[n]=x1[n−n0]x[n]=x_1[n-n_0]

  • 累加器、放大器、M-平均移动滤波是典型的位移不变性系统
  • 上采样、下采样是典型的移变系统

因果系统

对于计算y[n]y[n]的项，不含n+1，n+2……的项

稳定系统

输入的值若小于一个上界，则输出也小于一个上界

例如：移动平均滤波器

被动及无损系统

信号的能量：所有点的平方和

对于有限能量的输入序列，输出序列最多至多具有相同的能量

如果输入的能量等于输出的能量，则称为无损系统。

脉冲（IR）和步阶响应

  • 当用户面对一个未知的系统时，最有效的方法是投石问路；向系统输入一个最简单的、标准的信号，观测输出的信号（响应）

  • 数字滤波器对于脉冲序列{𝛿[𝑛]} 的输出响应称为脉冲响应 (Impulse Response)，通常记为 {ℎ[𝑛]}。

  • 离散时间系统对于步阶序列 {𝑢[𝑛]} 的输出称为步阶响应 (step response)，通常记为{𝑠[𝑛]}。

线性非时变系统 LTI 的时域特性

根据线性非时变特性的结果，可以完全以其脉冲响应来描述

知道了一个系统的脉冲响应，就可以通过卷积计算此系统对任意输出所产生的输出

我们定义系统的表示：如果有一个已知公式，对于一个系统，满足：对于任何输入，系统的输出序列都和公式计算的输出一样，则称这个公式表示了这个系统。

一个𝐿𝑇𝐼系统有且只有一个ℎ[𝑛]序列和其一一对应，且满足任何输入𝑥[𝑛]对应的输出都可以表示成 𝑦[𝑛]=𝑥[𝑛]∗ℎ[𝑛]

  • 一个𝐿𝑇𝐼系统⇒一个ℎ[𝑛] (有且只有)序列和其对应
  • 那么一个ℎ[𝑛] ⇒一个𝐿𝑇𝐼系统(有且只有)
  • 即一个ℎ[𝑛] 是否对应唯一一个系统，构成一一对应？答案是不是，h[n]可以对应一个LTI系统和多个其它种类的系统

h𝑦[𝑛]=𝑛𝑥[n][𝑛]=0ℎ_{𝑦[𝑛]=𝑛𝑥[n]} [𝑛]={0} 说明：

非𝐿𝑇𝐼系统不能用脉冲响应的卷积表示

  • 以上式为例，如果与ℎ[𝑛]=0做卷积，任何输入输出都是0，显然不对。

h𝑦[𝑛]=𝑥[𝑛−1]2[𝑛]={…,0,1,…}=h𝑦[𝑛]=𝑥[𝑛−1][𝑛]ℎ_{𝑦[𝑛]= 𝑥[𝑛−1]^2}[𝑛]=\{…,0,1,… \}=ℎ_{𝑦[𝑛] =𝑥[𝑛−1]}[𝑛]

非𝐿𝑇𝐼系统可能多个系统对应同一个脉冲响应；但是，同一个系统，不管是不是𝐿𝑇𝐼的，都只能有一个脉冲响应（定义）

n如下形式的线性常系数差分方程式所定义的系统是 LTI 离散时间系统中的一个重要种类。

∑k=0Ndky[n−k]=∑l=0Mplx[n−l]∑_{k=0}^Nd_ky[n-k]=∑_{l=0}^Mp_lx[n-l]

  • x[n] 和 y[n] 分别是系统的输入与输出, {dk} 与 {pk} 是系统的常数。

上述离散时间系统的阶数 (order) 被定义为max⁡(N, M)，它也是差分方程式的阶数

LTI 离散时间系统的分类

基于脉冲响应长度的分类

若 ℎ[𝑛] 为有限长度，也就是 h[𝑛]=0,𝑓𝑜𝑟𝑛<𝑁1𝑎𝑛𝑑 𝑛>𝑁2,𝑁1<N2ℎ[𝑛]=0, 𝑓𝑜𝑟 𝑛<𝑁_1 𝑎𝑛𝑑\ 𝑛>𝑁_2, 𝑁_1<N_2, 则称此脉冲响应为一有限脉冲响应 (finite impulse response, FIR) 离散时间系统。

其卷积运算可化简为： 𝑦[𝑛]=∑𝑘=𝑁1𝑁2h[𝑘]𝑥[𝑛−𝑘]𝑦[𝑛]=∑_{𝑘=𝑁_1}^{𝑁_2}ℎ[𝑘]𝑥[𝑛−𝑘]

若 ℎ[𝑛] 为无限长度，一般称为无限脉冲响应 (infinite impulse response, IIR) 离散时间系统。

FIR和IIR是 LTI系统下最主要、最核心的分类标准。

  • 从难度、应用方便程度、理解程度、数学推导等多方面来说,FIR要比IIR系统容易
  • 在所有的DSP教材中，在第三部分，滤波器设计中，都是先讲FIR，再讲IIR
  • 在本课程中为了多方面原因（课程设计目的、课程难度控制、课程进度），本课程主要讲解介绍FIR，IIR部分只做提及。感兴趣同学可以自学。